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牌姿ごとの面前聴牌スピード考察-1

この題名の記事では牌姿ごとにどれを切ったらどのくらい早く、どのくらい良形になるかの考察をします。

これらの記事は
http://g3gussan.blog64.fc2.com/blog-entry-56.html
これを前提として計算していますので、先に目を通しておくことをお勧めします。


123 56m 34 778s 11 67p

とりあえず有名なこの問題を通して、
牌姿考察に関する考え方を書こうと思います。


両面 両面 両面 両面 のターツオーバーリャンシャン
vs
両面 両面 両面対子 のフォローありリャンシャン

です。

おそらくこんなブログをわざわざ見に来て下さるほとんどの方が即答できるでしょうw
ターツオーバー不利です。

でその証明とどのくらい有利になるかですが、


ターツオーバー 

 136/32
 (二向:手変わりなし)
+
136*(16/16+12/20+2/28)/(16+12+2)
 (一向:縦受けツモで5種、頭ツモで8種に手変わり)

=11.827


5ブロック強化 

 136*(1+12/30)/(28+12)
 (二向:縦受けツモでシャボ受け微増)
 +
 0.7*136/20+(1-0.7)*136*(16/16+12/20+2/28)/(16+12+2)
 (一向き)
 (式中の0.7は一向開始時に縦受けがある確率
 一向になる前にもう一つ縦受けができる12/(28+12)で縦受け確定、
  そうでない場合はそのうち16/28で縦受けが確定より12/40+28/40*16/28=0.7)

 =11.793


結果
11.831 vs 11.793

0.03巡ターツオーバーが遅いです。

意外にもほとんど変わらないですね。
これだけだとどちらが強いというのは言えないです。


ですがここで各巡目の聴牌率について考えます。

話を簡単にするために、

A:手変わりがある両面両面のイーシャンテン

B:仮想の「手変わりのない18枚のイーシャンテン」

を比較します。

Aの平均聴牌巡目は
136*(16/16+12/20+2/28)/(16+12+2) = 7.577

Bの平均聴牌巡目は
136/18 = 7.556

ほぼ同じ平均聴牌巡目になっています。


しかしこの平均の内訳を見てみると、

10巡目までの「その巡目での聴牌率」は

手変わりの分布への影響 テンパイ率
↑手変わりありと無しが逆ですすみませんw赤がありで青が無し


このようになっています。

「手変わりが入る」という要素を持ったAが後半に強く、
逆に手変わりが無くともこの平均聴牌巡目だったBは前半に強くなっていますね。


そしてこれを「その巡目までの聴牌率」にすると

手変わりの分布への影響 既テンパイ率

このようになり、

Bの方が多少平均聴牌順は遅かったにもかかわらず、
10巡目までは完全にBの方が早くなっていることが分かります。

麻雀がいつか聴牌するまで頑張る競技ではなく、
先に張ったら押す、後手を踏んだらオリる
という離散的なゲームであることを考えると、
聴牌順は前に偏っていた方が強いのは明白ですので、

同じ平均聴牌巡目同士の比較では、向聴内の手変わりが多いほど不利

ということが分かります。

ちなみにこの牌姿比較においては10巡目までの平均聴牌巡目が
A 4.543 対 B 4.367
と約0.18巡早くなっていますので、

この記事の考察している牌姿では10巡平均聴牌巡目におよそ0.1巡程度は影響が出るのではないかと思われます。


このことを念頭に置いて今回の牌姿を考察すれば、
共に良形率が100%であり、他の要因も微差ながらすべて5ブロック強化の上位互換となっているため、

打点や待ちに優劣差が無い場合は僅差とは言え5ブロック強化が正着となります。


以下補足説明に入ります。


<打点>

まず打点考察ですが、聴牌スピードが僅差となるため、

ターツオーバーしているターツで役がある場合
(778と234三色関連ターツ3つや778とタンヤオ確定両面3つ)
それが低確率でも強化ターツ落としのターツオーバーが有利となります。


<場況判断>

いわゆるアナログ判断の考察ですが、

これが生きるのは、
縦受けを除いた両面4つの山読みに差が無く、
かつ1向になるまでの間に山生き枚数が変化(山生き枚数が変わるというと変ですが、他家が持っていることが分かった等で、予測される山生き枚数が変わるという意)した場合だけですので、
技術としてはほぼ無視していいです。

特に縦引きの牌まで山生きを見ないと、
両面は生きている方を取れても前述の手変わりを失ってかえって遅くなることもありますので、
今回はアナログ判断でターツオーバーに取る理由はないでしょう。

ちなみに山読みが不要と言っているわけではありません。
ターツオーバーを解消するために落とす両面を選ぶ際はもちろん山読みが重要となります。
それをさらに先延ばし(1向開始時)する意味が無いという話ですね。


<より正確な計算>

前述の「同じ聴牌巡目でも分布の形状が違う」ことによる聴牌巡目の変化が、
正確にどの程度の差を生むのかの考察です。

これは、
各巡目の聴牌率とその巡目での先制率、そしてその巡目での聴牌での期待値を総和していく方法や、
それぞれの聴牌率や山生き牌の枚数をパラメータとしてシミュレータを作る方法によって精度を増していくことができます。

ただこれらの方法は、
特定の巡目での特定の牌姿といった局所的なデータになってしまう点、
シミュレータを作るほど僅差の牌姿は、正着がわかっても場況によって簡単に覆ってしまう点、
等を考えるとあまり実戦的ではないと考えました。

結局セオリー的な正着を探すには類似局面内で十中八九は正着となるような大差が必要で、
逆に10回中6回となるような局面ではその6がどちらに傾くかより、
大体半々になることを踏まえて場況判断をする方が実力向上につながるかと思います。

そういう意図で、僅差の優劣を正確に付けようとするよりも、
このように簡単な計算で優劣を求め、
大差となる局面を探すというスタンスを取っていこうと思います。

このより正確な計算によって覆る可能性がある場合はそう明記しますので、
その断りが無ければ差があるとみてください。


なお今回これを微差としているのは、
比較牌姿が共にある程度確率が近い幾何分布を元にした形になっているからという点が大きいです。

なので聴牌巡目が近くとも、
3m 6p 4588s といった強烈な手変わりが受け入れ以上に大量にある牌姿や
チートイ1向 vs 面子手2向 といった幾何分布の数が違う牌姿等は、
平均では比較することはできません。

これらの牌姿ではこの計算を用いませんので、
この記事の計算方法を実際に使って牌姿比較をする方は注意してください。


ということで今回はこの辺で。

何か意見・質問等ありましたらよろしくお願いします~


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牌姿ごとの面前聴牌スピード考察-0

この題名の記事では牌姿ごとにどれを切ったらどのくらい早く、どのくらい良形になるかの算出・考察をします。

打点、フーロは考察はしますが、厳密に比較はしません


で、それらの記事を上げる前に前提を書いておきます。



まず受け入れの成功までの消費巡目に関してですが、


1巡あたりの受け入れを自模る確率をpとすると、

確率pの事象が1回成功するまでにかかる試行回数の平均
Σ p(k+1)(1-p)^k
等比数列の和で分解して1/p

これが消費巡目の式になります。式はΣでおえってなる人がいるかもしれませんが、公式は簡単。

例えばサイコロで1が出るまでかかる平均回数は1/6の逆数で6回ということになります。
非常に使いやすく、覚えやすい公式ですね。


麻雀ではイーシャンテンの受けが2種なら2/34の逆数34/2=17巡が平均聴牌順目となります。


ここで気をつけたいのが、この式が逆数であるため消費巡目と受け入れに比例関係が成り立っていない点です。

つまり1種増やした時の効果が常に等しくならないということになります。

たとえば3種から4種にすることは2.8巡縮める効果を持ちますが、
4種から5種にすることは1.7巡縮める効果しかありません。

受け入れと消費巡目の表は


受け入れ枚数 : 平均消費巡目
1 : 34.000
2 : 17.000
3 : 11.333
4 : 8.500
5 : 6.800
6 : 5.667
7 : 4.857
8 : 4.250
9 : 3.778
10 : 3.400
11 : 3.091
12 : 2.833


このようになり、受けが少ないほど受け入れ1種の効果が大きくなります



また、このため受け入れとして増えた牌数を独立で考えることはできないことに留意してください。

20枚対16枚の4枚差を考えるとき、

その4枚が山に丸行きだったとして
その4枚を持ってくるのは34巡かかるのではないか

このような考え方はできないと言うことになります。
20枚という数値のみが意味を持つわけで、16+4と分解することができません
(厳密に言うと分解方法はあるが単純計算では出せない)


また、
ある成功率の試行を繰り返すとき、成功率が変化する可能性がある場合
(例えば両面両面のイーシャンテンで両面構成牌をツモってシャボ受けが発生する場合)
ですが、

元の成功率がp、手変わりする確率がq,r、手変わり後の成功率がQ,Rならば、

その手の向聴が進むまでの平均消費巡目は

(p * 1/p + q * 1/Q + r * 1/R) / (p+q+r)

すなわち

それぞれの変化での平均消費巡目の、それぞれの変化する確率での単純な平均で与えられる
ことがわかっています。

・このことを考察する記事がこちら
http://g3gussan.blog64.fc2.com/blog-entry-55.html

同一シャンテン内の手変わりに関してはこの式を用いて算出します。


またこのシャンテンの消費巡目に関する考察記事が麻雀一番街にあり、

http://dora12.net/modules/university/stat/toukei/ka1.html

ここではさらに、

同じ受け入れ総数であるならば、受け入れの差が小さいほど早く聴牌する

という証明をしています。(証明内容は記事内)


よって

20枚のリャンシャン→10枚のイーシャン

より

18枚のリャンシャン→12枚のイーシャン

(共に合計は30枚)

の方が早く聴牌することは以後断りなく使いますのでこれも意識しておいてください。


以上が前提です。以降上げていく牌姿考察の記事はこれを元に書きますので、なにか疑問点が生じた場合はこれを参照してください。


シャンテン内での手変わり まとめと補足

証明文なので、結果だけ知りたい人は////////以降をお読みください。

イーシャンテンにおいて、

聴牌率p 手変わり率r 手変わり後の聴牌率q とした時、

手変わりを考慮しない平均聴牌巡目は
Σ(k→∞){kp(1-p)^(k-1)}=1/p


これより手変わりを考慮した平均聴牌巡目を、

1/(p+r) + (p*0 + r*1/q)/(p+r)

と予想できる。


これを全ての聴牌順×確率を総和する期待値の定義式

lim(n→∞)
{
Σ(i: 2→n)Σ(j: 1→n-1)
{(1-p-r)^(j-1) * (1-q)^ (i-j-1) *qri}

Σ(i: i→n)(1-p-r)^(i-1)*pi
}

を用いて実際に計算することで検証した結果、これは成り立っていると考えられ、

また、

 1/(p+r) + (p*0 + r*1/q)/(p+r)

= (p*1/p + r*1/q)/(p+r)

= (1 + r/q)/(p+r)

と式変形できる。実際の計算には最終式を用いるのが早い。


また2番目の式は、確率p,qの幾何分布の単純な平均式になっている。

これが意味通り成り立っているとすると、

手変わりの種類が複数ある場合
(両面両面ノーシャンテンには縦受けツモの完全ーシャンテンと、頭ツモのヘッドレスの2種類の手変わりがある)

聴牌率p、第一手変わり率q、第二手変わり率r、
それぞれでの聴牌率をP,Q,Rとしたとき、
(計算の意味が分かりやすいよう分けたが、p=Pである)

(p*1/P + q*1/Q + r*1/R) / (p+q+r)

という式が成り立つと考えられる。


これを上記同様に期待値の定義式

lim(n→∞)
{
Σ(i: 2→n)Σ(j: 1→n-1)
{(1-p-q-r)^(j-1) * (1-Q)^ (i-j-1) *qQi}

Σ(i: 2→n)Σ(j: 1→n-1)
{(1-p-q-r)^(j-1) * (1-R)^ (i-j-1) *rRi}

Σ(i: i→n)(1-p-q-r)^(i-1)*pi
}

で検証すると成り立っていることが確認できる。


※ちなみに、q+r = p0とおくと与式は、

q*1/Q + r*1/R = (q+r)*(q*1/Q+r*1/R)/(q+r)より

( p*1/P + p0*(q*1/Q+r*1/R)/(q+r) ) / (p+p0)

と変形でき、
(q*1/Q+r*1/R)/(q+r)は確率p0の手変わり内での試行回数の平均であることから、
これが最初の検証式と同義であるため成り立っているということもできるが、
分布の平均を取るという行為自体が正しかった保証があるかは分からないため、
こちらも実際の検証で確かめた。


これを一般化して、

成功率がp、
成功率の変化率をp1,p2,…pn
変化後の成功率をP1,P2,…Pn

とおくと、p,pi,pj(i≠j)がそれぞれ独立であるとき、成功までの平均試行回数は

(p*1/p + p1/P1 + p2/P2 + … + pn/Pn)/(p + p1 + p2 + … + pn)

となる


/////////////////////////////


まとめ


同じ向聴内の手変わりを考慮するとき、

元の成功率がp、手変わりする確率がq,r、手変わり後の成功率がQ,Rならば、

その手の向聴が進むまでの平均消費巡目は

(p * 1/p + q * 1/Q + r * 1/R) / (p+q+r)

すなわち

それぞれの変化での平均消費巡目の、それぞれの変化する確率での単純な平均
で与えられます。

計算用に単純化すると、

(1+q/Q+r/R)/(p+q+r)


わかりやすいように使用例

16枚の聴牌受けで、12枚で20枚聴牌受けに、2枚で28枚聴牌受け変化する牌姿

すなわち

34m 78p 88s 等の両面両面のイーシャンテン
(聴牌受け 25m 69pで16枚)
(12枚ある34m78pツモで20枚の完全イーシャンテン)
(2枚ある8sツモで28枚のアンコを有するヘッドレスイーシャンテン)

の平均聴牌巡目は、

両面両面のイーシャンテンの平均消費巡目が 136/16
完全イーシャンテンが 136/20
ヘッドレスイーシャンテンが 136/28

これらを単純に平均(足して3で割るじゃなく、ちゃんと確率通りに足す)して

(16/136 * 136/16 + 12/136 * 136/20 + 2/136 * 136/28) / (16/136+12/136+2/136)

で求めることができるということです。


さらに麻雀においては確率の分母は136で統一されているので、

p,q,r,Q,Rそれぞれの単位を確率でなく枚数で与えると

求める平均聴牌巡目は、


136 * (1 + q/Q + r/R) / (p + q + r)


という非常に単純な式で求まることになります。


さっきの牌姿なら

136*(1+12/20+2/28)/30

で求まってしまうということ。なんという簡単な式ww


これは非常に大きな発見でした。

これを使って牌姿に関する考察をしていきたいと思います。



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